1. Обобщенный МНК (ОМНК).

Рассмотрим исходную модель в моменты времени t и t–1:

– есть случайная величина, так как и – случайные величины,

, так как и .

Ряд остатков εt описывается (по предположению) авторегрессией первого порядка; ряд остатков ut представляет собой «белый шум» с автокорреляционной функцией в виде дельта-функции Дирака и не будет автокоррелирован. Также остаток в уравнении не коррелирует с регрессором xt. Следовательно, к этому уравнению можно применить классический МНК. Оценка параметра b вычисляется непосредственно, а оценка параметра a вычисляется так: .

Вообще говоря, найденная оценка b не всегда будет совпадать с оценкой b, найденной из исходного уравнения , так как наше предположение об авторегрессионном характере остатков не всегда строго реализуется.

ОМНК может применяться для данных, начиная с момента , т.е. первое наблюдение теряется; его можно восстановить для и , используя поправку Прайса–Уинстена:

Если наше предположение о том, что остатки описанные AR-моделью первого порядка соответствуют действительности, то можно показать, что .

При большой протяженности временного ряда значения и действительно оказываются близки друг к другу. В матричной форме отыскание столбца B

с помощью ОМНК выражается так:

B

= (X

TΩ

ρX

)-1X

TΩ

ρY

, где

2. Метод Кохрана–Оркатта (итерационный) – уточнение значения ρ.

Первая итерация: вначале по МНК оценивается регрессия . Определяются столбец остатков и столбец . Далее оценивается авторегрессия остатков по схеме :

, отсюда находится оценка .

Вторая итерация: введем новые переменные wt = yt – ρyt-1, zt = xt – ρxt-1.

Построим регрессию По ней определим (ε1)t и (ε1)t-1. Далее опять построим авторегрессию остатков , отсюда находим оценку ρ1.